疲劳载荷谱B氏等效与试验验证
疲劳载荷谱B氏等效与试验验证
Equivalence of Fatigue Load Spectra Based on B-distance with Experimental Verification
作者: 金甲南京航空航天大学 飞行器先进设计技术国防重点学科实验室，南京 210016通讯作者. Tel.：18168020772 E-mail：615427096@qq.com金甲（1991-）男，硕士。主要研究方向：结构弹塑性有限元分析及疲劳寿命预测技术。Tel：18168020772 E-mail：615427096@qq.com 姚卫星南京航空航天大学 机械结构力学及控制国家重点实验室，南京 210016姚卫星（1957-）男，博士，教授。主要研究方向：飞行器综合设计技术、飞行器先进结构设计理论、飞行器结构疲劳和可靠性、复合材料结构设计等。Tel：025-84892177 E-mail：wxyao@nuaa.edu.cn 谢飞南京航空航天大学 飞行器先进设计技术国防重点学科实验室，南京 210016谢飞（1986-）男，硕士。主要研究方向：疲劳可靠性与载荷谱编制术。Tel：18168021081 E-mail：905694656@qq.com 许力蒲南京航空航天大学 飞行器先进设计技术国防重点学科实验室，南京 210016许力蒲（1989-）男，博士。主要研究方向：飞机结构疲劳与载荷谱编制技术。Tel：15151876093 E-mail：502198029@qq.comKey Laboratory of Fundamental Science for National Defense-Advanced Design Technology of Flight Vehicle，Nanjing University of Aeronautics and Astronautics，Nanjing 210016，ChinaCorresponding author. Tel.: 18168020772 E-mail: 615427096@qq.comState Key Laboratory of Mechanics and Control of Mechanical Structures，Nanjing University of Aeronautics and Astronautics，Nanjing 210016，ChinaKey Laboratory of Fundamental Science for National Defense-Advanced Design Technology of Flight Vehicle，Nanjing University of Aeronautics and Astronautics，Nanjing 210016，ChinaKey Laboratory of Fundamental Science for National Defense-Advanced Design Technology of Flight Vehicle，Nanjing University of Aeronautics and Astronautics，Nanjing 210016，China
Author: JIN Jia YAO Weixing XIE Fei XU Lipu
关键词：B距离;缺口件;载荷折算;疲劳载荷谱;载荷谱等效;p-S-N曲线
Keywords：B-distance;notched specimens;load conversion;fatigue load spectra;equivalent of load spectra;p-S-N curve
摘要：疲劳试验是确定结构疲劳特性的最有效手段。为缩短疲劳试验时间，通常采用低载截除方法。相对于低载截除，载荷折算能进一步缩短试验时间，减小成本。为了能够合理地对载荷谱进行简化浓缩，本文选取了Bhattacharyya距离（简称B距离）作为衡量原谱与等效谱寿命相似程度的参量，综合考虑了寿命均值与分散性，得到浓缩后疲劳载荷等效谱。基本方法是在给定折算水平下，得到相应B距离最小的等效谱，并进行了缺口试验件的试验验证。结果表明，该方法合理有效，可大幅缩短试验时间。
Abstract：Load spectra experiment is the confident way to determine the fatigue life of structures. In order to shorten the fatigue test time，small-load-omitting approach is usually used. Compared to the small-load-omitting，the load conversion can shorten the test time and reduce the cost much more. In order to simplify and concentrate the load spectra reasonably，the Bhattacharyya distance（abbreviation B-Distance）was selected as the parameter to measure the similarity of the original spectra and the edited spectra. Firstly the average life span and dispersion were comprehensively taken into consideration，and then a new method for spectra editing was proposed. The solution to the equivalent spectrum corresponding to an original spectrum which was obtained when the Bhattacharyya distance was to the minimum. An experiment was carried out on notched specimens to verify and the experimental results show that the proposed approach was reasonable and effective，which can greatly reduce the test time.
中图分类号：V215.5 文献标志码：A 文章编号：1007-5453（2016）07-0057-07
收稿日期：2016-04-20；录用日期：2016-06-14
基金项目：国家自然科学基金（51275241），江苏省高校优势学科建设工程资助项目（PAPD）
引用格式：JIN Jia，YAO Weixing，XIE Fei，et al. Equivalence of fatigue load spectra based on B-distance with experimental verification[J].Aeronautical Science & Technology，2016，27（07）：57-63. 金甲，姚卫星，谢飞，等. 疲劳载荷谱B氏等效与试验验证[J].航空科学技术，2016，27（07）：57-63.
疲劳破坏是大多数工程结构失效的最主要形式之一，其疲劳特性需要依靠实际载荷谱下的疲劳试验进行测试。而在实际的载荷-时间历程中，占绝大部分的小幅循环不产生或产生很小损伤，却占用大量的试验时间，因此，加速疲劳试验是结构疲劳特性评定的重要组成部分。加速疲劳试验的途径主要有5种：超声振动疲劳试验[1，2]、删除小载荷[3，4]、载荷折算[5-9]、幅值增强[10]和严重谱法[11]，其中，载荷等效折算是加速疲劳试验技术的重要组成部分。
真实载荷-时间历程下零构件承受的交变载荷的幅值一般总是不规则变化的，通常称之为变幅载荷，也叫不规则载荷。最初，载荷等效折算往往仅仅考虑原谱与折算谱的块谱寿命相当，也就是应用损伤等效原理，损伤计算一般采用线性Miner理论。虽然这些方法简单易行，但对于工程上最常见的缺口结构，这些方法不仅没有考虑载荷的顺序效应，也没有考虑等效折算对疲劳寿命分散性产生的影响，因而会产生较大误差。王永廉[12]在使用跑道计数法（Racetrack Counting Method）对随机谱进行简化和浓缩处理的基础上，比较了5种等损伤等幅块谱模型，得到5种模型的估算寿命与试验寿命比值分布范围均从0.27到1.12。
苏开鑫[13]根据损伤等效当量折算理论，综合起落架的载荷谱特点，分别提出了平均应力相同、最小应力相同和已知应力比参数下的等效折算方法，并注意保持谱型和载荷施加顺序不变。平安[14]在强化载荷谱时对所有载荷按比例进行折算放大。沈永峰[15]则在损伤等效基础上使用五级程序谱。
本文考虑了材料和载荷的统计特性，提出了一个基于Bhattacharyya距离（简称B距离）的载荷谱等效方法，并进行了缺口试验件的试验验证。结果表明该方法合理有效，可大幅缩短试验时间。
1 载荷谱等效思想
从统计学的角度来看，传统的载荷谱编制方法存在2个问题，一是没有定量考虑载荷和损伤的随机性质，只是靠经验或工程判断方法取值；二是仅仅考虑损伤或寿命、疲劳强度的均值，这与实际的损伤情况有很大出入。
通常情况下，构件的材料特性、几何特性、载荷历程和环境条件都有一定的随机性，使得结构的疲劳寿命有一定的分散性[16]。实践中，直接通过试验获得疲劳强度的分布十分困难，而是通过疲劳寿命的分布推算疲劳强度的分布。通常，人们用不同可靠度下的S-N曲线即p-S-N曲线来描述处于某一应力场中的材料的疲劳强度，如图1所示。
图1 p-S-N曲线示意图 Fig.1 Schematic diagram of p-S-N curve
对于载荷折算，折算后的载荷幅值和载荷次数都会发生相应的改变。给定寿命的疲劳强度以及应力幅值下的疲劳寿命都有一定的分散性，因此，在不考虑载荷顺序效应的情况下，其分散性通常也会相应改变，再加上顺序效应等疲劳缺口效应改变带来的影响，可能会使试验结果差距很大，使得使用折算谱的试验结果失真。因此，仅仅考虑平均寿命来进行等效折算是远远不够的，为了保证编制的等效谱的分散性和均值同时符合要求，这里使用B距离对编谱前后载荷谱的寿命差异进行描述。
在统计学中，B距离被用来度量2个随机变量的概率分布的相似程度[17]，B系数的定义为：
假定2个随机变量的概率分布在同一定义域内，其分布密度函数为f（x）和g（x），B距离的定义为：
若f（x）服从正态分布N（u，σ2），g（x）也服从正态分布N（ν，γ2），则它们的B距离为：
从上式可以看出，B距离量化了2个随机变量的平均值和方差差异的总和。当2个分布完全相同时，B距离为0。而因为B系数本质上近似于对2个样本的重叠部分进行积分，如果2个样本完全没有重叠，B系数将趋近于0，而此时B距离则趋于无穷。
2 载荷谱的等效方法
2.1 基于B距离的载荷等效
由于载荷过程、材料性能和几何尺寸等的随机性，疲劳寿命是一个随机变量，可以采用概率分布来描述。假设原始谱为S0（E），S为应力（最大应力或幅值应力），E为应力S的超越数。给定一个载荷折算水平
，将应力
的小载荷折算成大载荷，得到新载荷谱S（E）。设载荷谱S0（E）和S（E）的疲劳寿命为F和G，若G=F，则认为S0（E）和S（E）相互等效，S（E）为原始谱S0（E）的等效谱，F和G均为随机变量。
真实情况下，等效谱和原谱肯定会有所差异。所以载荷谱等效的任务是找到S（E）使其疲劳寿命分布在G与F之间的差异最小，其数学形式为：
载荷谱的等效过程是将给定折算水平以下的小载荷折算为较大的载荷。而最大应力
（通常为每个块谱中超越次数为1的应力）对裂纹形成寿命的影响很大，因此，载荷谱等效的过程中，最大应力应保持不变。
2.2 寿命分布的计算
疲劳寿命通常用S-N曲线进行描述，疲劳寿命的分散性可以用相应载荷水平下的p-S-N曲线进行描述。有了p-S-N曲线，就可以依据二维概率Miner准则[18]，算出随机谱作用下给定可靠度结构的疲劳寿命。
式中：
是载荷作用频次，
和
是载荷的应力幅值和均值，Tp是可靠度p时结构失效的块谱数，
是可靠度p下等幅加载失效的载荷循环数，
是可靠度p下构件失效的作用频次，
是二维分布的密度函数。
对于任意连续载荷谱S（E），求反函数，将其写成E（S）的形式，应力S下的载荷循环数为：
式中：n为应力S的载荷循环数，E′（S）为超越数E对S的导数。任意可靠度下的疲劳寿命为：
由式（7）可得原始谱S0（E）和等效谱S（E）在任意可靠度下的疲劳寿命为：
式中：
和Tp分别为用块谱数表示的原始谱和等效谱在可靠度p下的疲劳寿命。
根据给定可靠度p下的p-S-N曲线得到，结构的p-S-N曲线采用三参数模型描述：
式中：
为理论疲劳极限，Hp和Cp为材料常数。
假设F和G服从对数正态分布，则式（3）中，各分布参数近似计算如下：
式中：
和
为原始谱和等效谱在50%可靠度下的疲劳寿命；up为给定可靠度p下的标准正态偏量。
2.3 寿命分布的计算
将式（10）代入式（3），在原始谱、折算水平、p-S-N曲线给定的情况下，前后载荷谱的B距离成为与等效谱有关的函数。
E′（S）为超越数E对S的导数。若函数E（S）使得DB取最小值，可以求得：
假设等效谱E（S）可以由如下形式表示且在[
，
]上二阶连续可微：
式中：c为放大系数，且c≥1。对E求导得：
在这里，
且E0为单调函数，在此基础上，DB是放大系数c的函数。求解式（13）即可得到c的取值。对DB求最小值有：
3 算例
3.1 材料与试件
试验件材料为LC4CS（7A04T6）铝合金，试验件如图2所示，边切口试件，应力集中系数为4，试件来自厚度为2.5mm的板材，纵向取样。LC4CS铝合金的力学性能如表1所示。
图2 试验件尺寸 Fig.2 Specimen dimension
表1 LC4CS铝合金力学性能 Table 1 Mechanical properties of aluminum alloy LC4CS
3.2 随机有限元法拟合p-S-N曲线
通过试验法获得缺口件的疲劳强度分散性要花费大量的时间和金钱，尤其是升降法试验[19]，基于这一点，本文不使用试验法得到疲劳载荷谱分散性，而是选取有限元抽样法处理缺口件的疲劳强度。对于普通的缺口件，我们认为疲劳寿命是由微观结构和局部应力应变状况共同影响的[20]。这两者本身也存在一定的随机性。在常幅载荷下，两种分散性对缺口件的影响关系可以用图3表示。假定缺口件和光滑件中微观结构的分散性程度是一样的。这样缺口件微观结构的分散性带来的影响就是等同的光滑件的分散性。而局部应力应变的分散性可以通过有限元抽样法进行求解获得。
图3 缺口件分散性示意图 Fig.3 Schematic diagram of dispersion of notched specimens
王长江[21]通过对210MPa下光滑件进行成组法和升降法试验，并使用双加权最小二乘法[22]，拟合得到在该应力水平下光滑件的p-S-N曲线，如表2所示。缺口件疲劳寿命概率分布的拟合流程，如图4所示。
表2 平均应力210MPa下p-S-N曲线参数 Table 2 The parameters of p-S-N curve under the mean
图4 随机有限元法流程图 Fig.4 Flow chart of stochastic finite element method
使用文献[23]中的方法，取该试件的模量均值为73000MPa，变异系数为3.3%，相关函数取为单指数型，x方向和y方向的相关长度假设为10mm，载荷变异系数取0.8%，场强积分半径取1.8mm，再进行蒙特卡罗随机抽样，得到了应力水平86MPa下图2切口试件的p-S-N曲线，如表3所示。
表3 应力幅值86MPa下本例缺口件p-S-N曲线参数 Table 3 p-S-N curves of notched specimens under stress amplitude 86MPa
3.3 载荷谱试验
选用的载荷谱是基于曲线
使用Twist编谱法编制的飞续飞谱，单块谱包括1200次飞行，载荷循环数为105.4936次。此外考虑到载荷的顺序效应，使用雨流再建谱法[24]编制中值损伤谱进行试验。平均应力水平为86MPa，对于地空地循环，取地面应力
，载荷峰值为119MPa。根据二维概率Miner准则得到不同可靠度时疲劳谱的寿命，利用概率纸法检验其分布类型是否满足对数正态分布，结果发现原始载荷谱的寿命（以地空地循环数为计）可以用对数正态分布来表示。对于本算例，μ= 3.8320，σ=0.056。
首先进行了几组删除（低载截除）谱的试验，小载荷删除前后，保留部分的载荷顺序不变。删除谱试验中，幅值为12MPa水平和14MPa水平下的删除谱寿命分布与原始谱相同，并通过了显著性检验和方差齐性检验（即T检验和F检验）。然后再取折算水平取为28MPa。则可以求得各放大系数水平下的概率距离值。对应以下公式：
式中，Sa指的是应力幅值。对每一个c值计算等效谱S（E）的疲劳寿命分布参数ν和γ。根据式（3）计算B距离，B距离为放大系数c的函数。对于28MPa等效谱S（E），计算得到的B距离最小值为0.0109，放大系数c为1.0915，等效谱S（E）如图5中的虚线所示。
图5 等效谱幅值应力超越数曲线 Fig.5 Exceedance curve of equivalent spectra amplitude stress
同时还计算了把载荷谱中所有载荷折算为最大载荷85.7MPa时，单块谱的循环次数，计算得到此时的N=2045。B距离为0.053。等效后，按等效后的连续载荷-频率曲线重新编制飞续飞谱进行试验。使用力学测试与模拟（MTS）疲劳试验机进行试验，加载频率10Hz，试验结果如表4所示。每个应力水平先做5件，获得疲劳寿命后进行了最小件数的检验，检验结果表明：5件能够满足10%精度的最小件数要求。
表4 原始谱和等效谱的试验寿命 Table 4 Test life of original spectra and equivalent spectra
以12MPa删除谱为基准（原谱）进行假设检验，采用T检验法对不同载荷谱下的裂纹形成寿命的均值进行检验，判断2个等效谱的寿命均值是否与原谱差异较大，采用F检验法对不同载荷谱下的裂纹形成寿命的方差进行检验，判断2个等效谱的寿命标准差是否与原谱差异较大[25]。取显著性水平α = 0.05，可以看出：
（1）对于28MPa等效谱，有
，寿命均值与原谱相比，没有显著差别。
（2）对于85.7MPa等效谱，
，寿命均值与原谱相比有一定的差异。
（3）对于2个等效谱，有
，寿命标准差与原谱相比没有显著变化。
T和F表示的样本相关参数，而
，
，
，
均代表临界值。
由此可得出结论：28MPa谱的疲劳寿命与原谱同分布，85.7MPa谱的寿命均值与原谱相比有一定的差别，但标准差没有差别，T检验和F检验结果如表5所示。
表5 T检验和F检验的结果 Table 5 Results of T test and F Test
4 结论
（1）与小载荷删除谱相比，本文的载荷等效方法能够进一步压缩载荷谱，节约试验时间。而且试验验证说明是有效的。
（2）本文选取折算水平依然略显偏大，尤其是T检验只是勉强符合，在试验经费和时间许可时，应适量减小折算水平。
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